宋江怒杀阎婆惜的原因主要有以下几点：
阎婆惜的威胁：
阎婆惜发现了宋江私通晁盖并收下其黄金和书信，以此要挟宋江，要求他成全自己和张文远的事情，并威胁要报官。这种要挟使宋江感到自己的名誉和人生受到了巨大威胁。
宋江的无奈与愤怒：
宋江原本只想息事宁人，拿回书信，但阎婆惜的步步紧逼，使得矛盾不断升级，最终激怒了宋江。此外，宋江还担心阎婆惜会揭露他和晁盖之间的关系，这会严重影响他的声誉和自由。
保护自己和晁盖：
宋江杀死阎婆惜的另一个重要原因是为了防止她出卖自己和朋友晁盖。阎婆惜以公开他们的私情相威胁，宋江在被逼无奈的情况下，选择了杀人灭口。
情绪失控：
阎婆惜那句“快把来与我，我便饶你这一场天字第一号官司”彻底激怒了宋江，使他在愤怒和绝望之下，做出了极端的行为。
综上所述，宋江怒杀阎婆惜是由于阎婆惜的威胁、宋江的无奈与愤怒、保护自己和晁盖的需要以及情绪失控等多方面的原因共同作用的结果。这一事件不仅暴露了宋江性格的复杂和手段的狠辣，也预示了他从一个被迫守规矩的书生，变成了一个被迫反抗、寻求江湖生存之道的英雄。