东汉太子的居住场所有多种说法，具体如下：
东宫
东汉时，太子宫开始称为“东宫”，可能与当时经学兴盛有关。孔颖达认为太子常处东宫，因为“四时东为春，万物生长在东；西为秋，万物成就在西。以此君在西宫，太子常处东宫也”。
永安宫、承光宫
东宫的具体位置有北宫东侧永安宫、北侧承光宫的说法。
桂宫
汉代的太子居住及办公的场所并不在后世的东宫，而是在未央宫北面的桂宫，桂宫前边有道门叫龙楼门。
长乐宫
有说法认为东宫就是长乐宫，是太后居住的地方。
未央宫
未央宫北面的桂宫，也是太子居住及办公的场所。
综合以上信息，东汉太子的居住场所主要有东宫、永安宫、承光宫、桂宫和长乐宫等说法。其中，东宫和桂宫是比较常见的说法，但具体位置和用途有所不同。建议参考权威文献和考古发现，进一步确认东汉太子的具体居住场所。