公司可以在以下情况下开除员工：
严重违反规章制度：
如旷工、泄密、擅自离岗等。
严重失职或营私舞弊：
如工作中导致重大损失。
违反法律：
如诈骗、偷窃或其他刑事犯罪。
试用期不符合录用条件：
在试用期内，如果员工被证明不符合录用条件。
双重劳动关系且影响工作：
如果员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且这种关系对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出后拒不改正。
劳动合同无效：
如果员工在入职时存在欺诈、胁迫等情形，致使劳动合同无效。
严重违纪或营私舞弊的具体情形：
如员工因迟到违反公司基本规章制度，公司有权进行处理。
被依法追究刑事责任：
如果员工被依法追究刑事责任。
其他法定情形：
如员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作；员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位，仍不能胜任工作；劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使原劳动合同无法履行，经当事人协商不能就变更劳动合同达成协议等。
需要注意的是，开除员工通常带有强烈的惩罚性质，公司一般不支付经济补偿。如果开除不符合《劳动合同法》的规定，员工有权通过劳动仲裁或法院要求赔偿。此外，公司在开除员工时应遵循法律规定的程序，确保合法合规。