数学归纳法（Mathematical Induction，简称MI）是一种 数学证明方法，主要用于证明某个给定命题在整个或局部自然数范围内成立。尽管其名字中包含“归纳”二字，但数学归纳法实际上是一种完全严谨的演绎推理法，而非不严谨的归纳推理法。所有数学证明本质上都是演绎法。
数学归纳法的基本步骤
数学归纳法通常包括以下两个步骤：
基础步骤（Base Case）：验证命题对于最小的自然数（通常是0或1）是否成立。
归纳步骤（Inductive Step）：假设命题对于某个自然数k成立，然后证明命题对于k+1也成立。
广义应用
除了自然数，数学归纳法还可以广义地应用于证明一般良基结构，例如在集合论中的树结构。这种广义的数学归纳法在数学逻辑和计算机科学领域被称为结构归纳法。
严谨性
数学归纳法的严谨性在于其推理过程的严密性。假设命题对于某个自然数k成立，然后通过逻辑推理证明命题对于k+1也成立。由于假设和推理过程的严谨性，数学归纳法可以得出对于所有自然数n，命题都成立的结论。
应用示例
数学归纳法在数学的许多领域中都有广泛应用，例如在数论中证明某个定理对于所有自然数成立，或者在组合数学中证明某个组合恒等式对于所有自然数成立。
总结
数学归纳法是一种强大的数学证明工具，尽管其名字中有“归纳”二字，但它实际上是一种严谨的演绎推理法。通过基础步骤和归纳步骤，数学归纳法可以证明某个命题在整个自然数范围内成立，并且可以广义地应用于证明一般良基结构。