均值不等式，也称为 平均值不等式或 平均不等式，是数学中的一个重要公式。它表明对于一组非负实数，它们的算术平均数、几何平均数、平方平均数之间存在一定的关系，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
具体来说，对于n个正实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，均值不等式可以表示为：
$$
H_n \leq G_n \leq A_n \leq Q_n
$$
其中：
$H_n = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$ 是调和平均数
$G_n = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$ 是几何平均数
$A_n = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ 是算术平均数
$Q_n = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$ 是平方平均数
均值不等式的一个重要推论是：若 $a$ 和 $b$ 是正实数，则 $a + b \geq 2\sqrt{ab}$，当且仅当 $a = b$ 时取等号。
这个不等式在数学的许多领域都有广泛的应用，特别是在求最值和证明题中非常有用。例如，在优化问题中，它可以帮助我们找到一组数的最小值或最大值。