同一函数指的是 两个或多个函数在定义域内的每一个输入值上的输出结果完全相同。即对于所有 $x$ 属于定义域，$f（x） = g（x）$。函数存在的本质是一种映射关系，同一函数则表明了多种不同的表达方式形成了相同的映射关系。
具体来说，同一函数需要满足以下条件：
定义域相同：
即自变量 $x$ 的取值范围要相同。
对应法则相同：
即对于定义域内的每一个 $x$，两个函数的输出结果 $f（x）$ 和 $g（x）$ 必须相等。
例如，函数 $f（x） = x + 1$ 和 $g（x） = 2（x - 1） + 1$ 在定义域内的每一个输入值 $x$ 上，它们的输出结果都是 $x + 1$，所以它们是同一函数。
另外，如果两个函数经过化简或变换能够变成一样的表达式，且它们的定义域、对应法则和值域都相同，那么这两个函数也是同一函数。
总结来说，同一函数的关键在于其定义域和对应法则的完全一致性，而不仅仅是函数表达式的形式是否相同。