泊松分布是一种 描述在固定时间或空间内，某个特定事件发生次数的离散概率分布。它得名于法国数学家西莫恩·泊松，并广泛应用于多个领域，尤其是在描述随机事件发生频率上具有显著的现实意义。泊松分布的概率质量函数给出了在一个时间段内观察到k个事件的概率，公式如下：
$$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$
其中：
$P（X=k）$ 表示事件发生 k 次的概率，
$\lambda$ 是单位时间或单位空间内的平均发生次数，
$e$ 是自然对数的底数，约等于 2.71828，
$k!$ 是 k 的阶乘。
泊松分布的几个重要特性包括：
离散性：
泊松分布描述的是事件在离散时间或空间区间内发生的次数，因此其取值为非负整数。
无记忆性：
事件的发生与历史无关，发生概率只取决于当前的平均发生率 $\lambda$。
可加性：
如果 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个独立的泊松随机变量，参数分别为 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$，那么 $X_1 + X_2$ 也服从泊松分布，其参数为 $\lambda_1 + \lambda_2$。
期望值和方差相等：
泊松分布的期望值和方差都等于参数 $\lambda$。
泊松分布常用于以下场景：
电话交换机的呼叫频率
电子设备的故障率
网络流量的波动
统计质量控制中单位产品中出现的不合格或缺陷数。
在实际应用中，泊松分布可以帮助我们预测在固定时间或空间内某个事件发生的次数，从而进行更好的规划和决策。