曲率公式用于描述曲线在某一点处的弯曲程度，即曲线偏离直线的程度。以下是几种不同形式的曲率公式：
基于弧长和切线方向角的曲率公式
$$
K = \frac{d\alpha}{ds}
$$
其中，$\alpha$ 是曲线上某点的切线方向角，$s$ 是弧长。这个公式表明曲率是切线方向角对弧长的转动率。
基于一阶导数和二阶导数的曲率公式
$$
K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{\frac{3}{2}}}
$$
其中，$y'$ 和 $y''$ 分别是函数 $y$ 对 $x$ 的一阶和二阶导数。
基于参数方程的曲率公式
设曲线的参数方程为 $\mathbf{r}（t） = （x（t）, y（t））$，则曲率 $K$ 可以表示为：
$$
K = \frac{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^{3/2}}
$$
其中，$\mathbf{r}' = \frac{d\mathbf{r}}{dt}$ 和 $\mathbf{r}'' = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}$，$\times$ 表示向量的外积。
基于广义相对论的曲率公式
在广义相对论中，曲率可以表示为：
$$
K = \frac{1}{R}
$$
其中，$R$ 是曲率半径。这个公式与引力场中的时空扭曲有关。
这些公式从不同角度描述了曲率，可以根据具体问题的需要选择合适的公式进行计算。