正定矩阵是 线性代数中的一个重要概念，具体定义如下：
实对称矩阵：
正定矩阵首先是一个实对称矩阵，即矩阵 $A$ 满足 $A = A^T$，其中 $A^T$ 是矩阵 $A$ 的转置。
特征值性质：
正定矩阵的所有特征值都是正数。
二次型性质：
对于任何非零向量 $x$，都有 $x^T A x > 0$，其中 $x^T$ 是 $x$ 的转置。
正定矩阵在数学和物理学中都有广泛的应用。例如，在物理学中，它可以用来描述一个物理系统的势能，其大小和方向决定了系统的稳定性和运动性质。在考研数学中，正定矩阵是线性代数部分的一个重要内容，通常与二次型一起讨论。
判断一个矩阵是否为正定矩阵的方法包括：
特征值法：如果矩阵的所有特征值都是正数，则矩阵是正定的。
顺序主子式法：矩阵的所有顺序主子式（即从左上角到右下角的对角线子矩阵的行列式）均为正。
合同变换法：矩阵 $A$ 与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 $C$ 使得 $A = C^T C$。
这些方法都可以用来验证矩阵的正定性。