“监守自盗”打一动物是 鼠。这个成语的意思是指监督者自己偷盗，比喻自己欺骗自己，也比喻内部人员利用职务上的便利，侵吞公共财物。在十二生肖中，鼠是与“监守自盗”这个成语最为相关的动物，因为老鼠常常在人们不注意的情况下偷食粮食，这种行为与“监守自盗”的含义相吻合。
此外，虽然其他生肖如兔、鸡、虎等也在某些情况下与“监守自盗”有关联，但它们并不是最符合这个成语的动物。例如，兔年出生的人虽然端正、好个性，但并没有“监守自盗”的含义；鸡虽然有时被认为是勤奋的象征，但也没有与“监守自盗”直接相关的含义；虎虽然独立、自尊心强，但也没有“监守自盗”的含义。
因此，综合以上分析，“监守自盗”打一的动物是鼠。