实特征值是 线性代数中的一个重要概念，它指的是 特征多项式方程的实根。特征值描述了一个矩阵对向量的拉伸或压缩程度，即一个向量经过矩阵变换后，其长度或方向的变化情况。
具体来说，如果存在一个非零向量 $x$ 和一个标量 $m$，使得 $Ax = mx$ 成立，那么标量 $m$ 就被称为矩阵 $A$ 的一个特征值，向量 $x$ 称为对应于特征值 $m$ 的特征向量。
实特征值的定义与特征多项式方程的根密切相关。特征多项式方程是一个关于特征值的多项式方程，其根即为矩阵 $A$ 的特征值。实特征值是这些根中的实数部分。
实特征值具有以下性质：
实数根：
实特征值是特征多项式方程的实数根。
几何意义：
实特征值在几何上表示向量在矩阵变换下的伸缩因子。
物理意义：
在物理学中，实特征值通常具有明确的物理意义，例如在振动分析中，实特征值对应于系统的自然频率。
实特征值的应用非常广泛，它们在数学、物理学、化学、计算机科学等领域都有重要的应用。例如，在稳定性分析中，实特征值的符号可以判断系统的稳定性；在主成分分析中，实特征值用于确定数据的主轴方向。
总结来说，实特征值是特征多项式方程的实数根，它们描述了一个矩阵对向量的拉伸或压缩程度，并在多个领域中具有广泛的应用。