有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种 广泛应用于数值解法的技术，尤其在结构力学和热传导等领域具有显著优势。它的基本思想是将一个连续的域划分为有限个小的、简单的单元，然后通过数值方法求解这些单元上对应的方程，最终得到整个问题的解。
基本原理
离散化：
将一个复杂的连续问题离散化为一系列小的、简单的单元。每个单元内部采用简单的插值函数来近似物理量的变化，而在单元之间则通过“节点”进行连接。
插值函数：
在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，这些近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。
方程组建立：
通过施加边界条件和物理方程，将求解转化为一个大型的代数方程组。这个方程组的未知量通常是节点位移和单元内应力，以总体刚度矩阵为系数。
求解：
求解这个代数方程组可以得到问题的近似解。
应用范围
有限元法广泛应用于以下领域：
结构力学：分析建筑物、桥梁、飞机等结构在荷载作用下的应力和变形情况。
热传导：模拟材料在热环境中的温度分布和热应力。
流体力学：求解流体在复杂几何结构中的流动问题。
电磁学：分析电场、磁场等电磁场分布。
优点
灵活性：适用于各种复杂的几何形状和边界条件。
精度高：通过增加单元数量（网格细化），可以提高计算的精度。
效率高：可以编制程序并使用计算机辅助求解，处理大规模问题。
缺点
计算量大：网格细化会增加计算量。
对初值敏感：某些情况下，初值的选择可能会影响求解的稳定性和精度。
有限元法通过将复杂的连续问题离散化为简单的单元，使得求解过程更加高效和精确，成为现代工程领域中不可或缺的数值分析工具。