n分之一为什么发散

n分之一构成的级数，即 调和级数，是发散的。调和级数定义为：

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ...

调和级数的发散性

调和级数发散的原因在于其部分和随着n的增加而无限增大。具体来说，调和级数的每一项1/n随着n的增大而减小，但永远不等于零。因此，随着n的增加，部分和会无限增大，导致整个级数发散。

调和级数的比较判别法

调和级数发散的一个直观证明是通过比较判别法。考虑以下比较：

S_2n - S_n = （1/（n+1） + 1/（n+2） + ... + 1/2n） > （1/2n + 1/2n + ... + 1/2n） = n * 1/2n = 1/2

这个比较表明，调和级数的部分和之差至少为1/2，这意味着部分和会无限增大，从而证明调和级数发散。

调和级数的其他证明方法

除了比较判别法，还可以使用积分判别法或其他高级数学工具来证明调和级数的发散性。这些方法通常涉及将级数与某个函数联系起来，并分析该函数的积分行为。

结论

n分之一构成的级数，即调和级数，由于其部分和随着n的增加而无限增大，因此是发散的。调和级数的发散性在数学分析中具有重要意义，因为它展示了某些级数可能不收敛的情况。