平方和公式用于求连续自然数的平方和，其公式为：
\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n（n+1）（2n+1）}{6} \]
这个公式也被称为四角锥数或金字塔数，是正方形数的级数。
证明这个公式可以通过数学归纳法：
1. 当 \（ n = 1 \） 时，左边 = 1，右边 = \frac{1（1+1）（2 \cdot 1 + 1）}{6} = 1，公式成立。
2. 假设当 \（ n = k \） 时，公式成立，即 \（ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k（k+1）（2k+1）}{6} \）。
3. 当 \（ n = k+1 \） 时，
\[
1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + （k+1）^2 = \frac{k（k+1）（2k+1）}{6} + （k+1）^2
\]
\[
= （k+1） \left（ \frac{k（k+1）（2k+1）}{6} + （k+1） \right）
\]
\[
= （k+1） \left（ \frac{k（k+1）（2k+1） + 6（k+1）}{6} \right）
\]
\[
= （k+1） \left（ \frac{（k+1）（2k^2 + k + 6）}{6} \right）
\]
\[
= （k+1） \left（ \frac{（k+1）（2k+1）（k+2）}{6} \right）
\]
\[
= \frac{（k+1）（k+2）（2k+1）}{6}
\]
因此，当 \（ n = k+1 \） 时，公式也成立。
综上所述，平方和公式 \（ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n（n+1）（2n+1）}{6} \） 成立。