伴随矩阵，也称伴随矩阵或手套矩阵，是 线性代数和矩阵论中的一个核心概念。对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵是由A的代数余子式构成的矩阵，记作B或adj（A）。伴随矩阵的每个元素b_ij是A的代数余子式A_ij的值，即b_ij = （-1）^（i+j） * A_ij。
伴随矩阵的主要性质和应用包括：
求逆矩阵：
如果矩阵A可逆，那么A的逆矩阵A^（-1）可以通过其伴随矩阵来表示，即A^（-1） = （1/det（A）） * adj（A），其中det（A）是矩阵A的行列式。
解线性方程组：
伴随矩阵可以用于求解线性方程组，特别是在使用高斯消元法时，伴随矩阵可以帮助计算行列式的值和逆矩阵。
计算行列式：
虽然不能直接通过伴随矩阵计算行列式，但可以通过伴随矩阵和原矩阵的关系来求解行列式，例如，det（A） = （1/det（A）） * adj（A） * det（A） = det（adj（A））。
研究矩阵特性：
伴随矩阵可以用来研究矩阵的斜对角线和其他特性，例如，矩阵的迹（主对角线上元素之和）等于其伴随矩阵的迹，矩阵的行列式等于其伴随矩阵的行列式的倒数。
计算机图像处理：
在计算机图像处理中，伴随矩阵可以用于实现图像的旋转变换。
综上所述，伴随矩阵是线性代数中一个非常重要的工具，具有广泛的应用。通过掌握伴随矩阵的定义和性质，可以更有效地解决线性方程组、求逆矩阵等问题。